Analiza w matematyce- do tego działu
przynależy wszystko poza geometrią i rachunkiem prawdopodobieństwa
Jest to dział, w którym w najmniejszym stopniu trzeba znać wzory. Na poziomie gimnazjum najbardziej potrzebnymi wzorami są te skróconego mnożenia.
(a+b)^2= a^2 + 2ab + b^2
(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2
(a-b)(a+b)= a^2 - b^2
(a + b + c)^2 = a^2 + 2ac +b^2 + 2bc + c^2 + 2ac
Oraz ich właściwości i zależności z nich wynikające: (a+b)^2 oraz (a-b)^2 zawsze >= 0
oraz a^2 + b^2 >= 2ab
Mając opanowaną tę wiedzę, możecie śmiało próbować
zrobić poniższe zadania.
*Zadań jest 8 (3 na pierwszym poziomie, 3 na drugim oraz 2 naprawdę trudne) i są uszeregowane poziomami trudności.
*Jeżeli ktoś nie będzie umiał zrobić zadania proszę śmiało pytać (w komentarzach), na pewno w przeciągu paru dni pojawi się odpowiedź, a tych którzy rozwiązali proszę również wrzucać odpowiedzi do komentarzy albo wysyłać na mail, chętnie wprowadzimy ewentualne poprawki. :-)
*Odpowiedzi na obydwa najtrudniejsze zadania są zamieszczone na dole strony, ale najpierw spróbujcie sami je rozwiązać.
POWODZENIA 👍
Poziom 1
Zadanie 1.
Rozwiąż układ równań :
x^2+y^2+z^2=3
xy+xz+yz= 3
Zadanie 2.
Oblicz x^2 + y^2 +z^2 wiedząc, że x + y + z = 1 oraz 1/x +1/y +1/z = 0
Zadanie 3.
Rozstrzygnij, która z liczb jest większa: pierwiastek z 1999 + pierwiastek z 1997, czy 2 pierwiastki z
1998
Poziom 2
Zadanie 1.
Udowodnij że dla dowolnych liczb dodatnich a,b zachodzi nierówność:
pierwiastek z a + pierwiastek z b ≤ pierwiastek z (a^2/b) + pierwiastek z (b^2/a)
Zadanie 2.
Wyznacz wszystkie trójki liczb rzeczywistych x, y, z : takich, że
pierwiastek z ( x ) + pierwiastek z (y-1) + pierwiastek z (z-2)= 1/2 (z + y + z )
Zadanie 3.
Liczby rzeczywiste a, b, p, q są różne od 0 i spełniają warunki
p+q=1 p/a + q/b = 1/(pa+qb)
Udowodnij, że a=b
Poziom 3
Zadanie 1
liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek a + b + c =1
udowodnij, że ab + bc +ca ≤ 1/3
Zadanie 2
Liczby wymierne x,y spełniają warunek:
a^5+ b^5 = 2a^2b^2
Udowodnij, że 1-ab jest kwadratem liczby wymiernej
Rozwiązanie 1
Jeżeli a + b +c = 1 to a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +2 ac +2 bc = 1
a z tego bloga wiecie już, że a^2 + b^2≥ 2ab , tak samo z a i c oraz b i c ,
z tego wynika, że 2 a^2 + 2 b^2 + 2 c^2 ≥ 2 ac + 2bc + 2 ab , więc a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab+ ac + bc
po podstawieniu tego do równania , dostajemy, że liczba a^2 +b^2 + c^2 + 2ab + 2ac +2 bc ≧ 3 ab + 3 ac + 3 bc, a z tego wynika, że 3 ab + 3 ac + 3 bc ≤ 1, więc ab+ bc + ca ≤ 1/3
Rozwiązanie 2
a więc najpierw podnieśmy obustronnie do kwadratu: dostaniemy
a^10 + 2a^5b^b + b^10= 4 a^4b^4
teraz wystarczy obustronnie odjąć 4 a^5b^5, a dostaniemy (a^5 - b^5) ^ 2 = 4 a^4b^4( 1- ab)
A potem dzieląc przez 4 a^4b^4 ( zakładamy że nie 4 a^4b^4 = 0, potem tylko wystarczy podstawić 0 za 4 a^4b^4 , żeby rozpatrzyć drugi przypadek)
a więc dostajemy ((a^5 - b^5)/ 2 a^2b^2) ^2 = 1 - ab , tym samym udowadniając tezę.
Jest to dział, w którym w najmniejszym stopniu trzeba znać wzory. Na poziomie gimnazjum najbardziej potrzebnymi wzorami są te skróconego mnożenia.
(a+b)^2= a^2 + 2ab + b^2
(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2
(a-b)(a+b)= a^2 - b^2
(a + b + c)^2 = a^2 + 2ac +b^2 + 2bc + c^2 + 2ac
Oraz ich właściwości i zależności z nich wynikające: (a+b)^2 oraz (a-b)^2 zawsze >= 0
oraz a^2 + b^2 >= 2ab
*Zadań jest 8 (3 na pierwszym poziomie, 3 na drugim oraz 2 naprawdę trudne) i są uszeregowane poziomami trudności.
*Jeżeli ktoś nie będzie umiał zrobić zadania proszę śmiało pytać (w komentarzach), na pewno w przeciągu paru dni pojawi się odpowiedź, a tych którzy rozwiązali proszę również wrzucać odpowiedzi do komentarzy albo wysyłać na mail, chętnie wprowadzimy ewentualne poprawki. :-)
*Odpowiedzi na obydwa najtrudniejsze zadania są zamieszczone na dole strony, ale najpierw spróbujcie sami je rozwiązać.
POWODZENIA 👍
Poziom 1
Zadanie 1.
Rozwiąż układ równań :
x^2+y^2+z^2=3
xy+xz+yz= 3
Zadanie 2.
Oblicz x^2 + y^2 +z^2 wiedząc, że x + y + z = 1 oraz 1/x +1/y +1/z = 0
Zadanie 3.
Rozstrzygnij, która z liczb jest większa: pierwiastek z 1999 + pierwiastek z 1997, czy 2 pierwiastki z
1998
Poziom 2
Zadanie 1.
Udowodnij że dla dowolnych liczb dodatnich a,b zachodzi nierówność:
pierwiastek z a + pierwiastek z b ≤ pierwiastek z (a^2/b) + pierwiastek z (b^2/a)
Zadanie 2.
Wyznacz wszystkie trójki liczb rzeczywistych x, y, z : takich, że
pierwiastek z ( x ) + pierwiastek z (y-1) + pierwiastek z (z-2)= 1/2 (z + y + z )
Zadanie 3.
Liczby rzeczywiste a, b, p, q są różne od 0 i spełniają warunki
p+q=1 p/a + q/b = 1/(pa+qb)
Udowodnij, że a=b
Poziom 3
Zadanie 1
liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek a + b + c =1
udowodnij, że ab + bc +ca ≤ 1/3
Zadanie 2
Liczby wymierne x,y spełniają warunek:
a^5+ b^5 = 2a^2b^2
Udowodnij, że 1-ab jest kwadratem liczby wymiernej
Rozwiązanie 1
Jeżeli a + b +c = 1 to a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +2 ac +2 bc = 1
a z tego bloga wiecie już, że a^2 + b^2≥ 2ab , tak samo z a i c oraz b i c ,
z tego wynika, że 2 a^2 + 2 b^2 + 2 c^2 ≥ 2 ac + 2bc + 2 ab , więc a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab+ ac + bc
po podstawieniu tego do równania , dostajemy, że liczba a^2 +b^2 + c^2 + 2ab + 2ac +2 bc ≧ 3 ab + 3 ac + 3 bc, a z tego wynika, że 3 ab + 3 ac + 3 bc ≤ 1, więc ab+ bc + ca ≤ 1/3
Rozwiązanie 2
a więc najpierw podnieśmy obustronnie do kwadratu: dostaniemy
a^10 + 2a^5b^b + b^10= 4 a^4b^4
teraz wystarczy obustronnie odjąć 4 a^5b^5, a dostaniemy (a^5 - b^5) ^ 2 = 4 a^4b^4( 1- ab)
A potem dzieląc przez 4 a^4b^4 ( zakładamy że nie 4 a^4b^4 = 0, potem tylko wystarczy podstawić 0 za 4 a^4b^4 , żeby rozpatrzyć drugi przypadek)
a więc dostajemy ((a^5 - b^5)/ 2 a^2b^2) ^2 = 1 - ab , tym samym udowadniając tezę.
Comments
Post a Comment