GEOMETRIA
<span style="color: red;"><b>Geometria</b></span> – dziedzina matematyki badająca dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, od najprostszych, takich jak odległość, pole powierzchni, miara kąta, przez bardziej zaawansowane, jak krzywizna, punkt stały, czy wymiar. W zależności od rodzaju przekształceń mówi się o różnych rodzajach geometrii.<span style="background-color: black;"><span style="background-color: black;"></span></span><br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
,,Geometria ma dwa wielkie skarby: jednym z nich jest twierdzenie
Pitagorasa, a drugim podział odcinka w złoty sposób; pierwszy z nich
możemy porównać do złota, a drugi do drogocennego klejnotu." Johannes Kepler<span style="background-color: white;"></span></blockquote>
<br />
<br />
<iframe allowfullscreen="true" frameborder="0" height="389" mozallowfullscreen="true" src="https://docs.google.com/presentation/d/e/2PACX-1vSk5g6H6J-50Ysrj5OMTxXB2cycDeIuKuwrI31OOfatqaAXFMHRbyxPGNm8n2LilH0qnU9PIJNWOf5k/embed?start=true&loop=true&delayms=3000" webkitallowfullscreen="true" width="480"></iframe>
<br />
Geometria, podobnie jak arytmetyka należy do najstarszych nauk. Podobnie jak inne działy matematyki
geometria wyewoluowała od badania kształtów znanych z codziennego życia
do studiów nad nieskończenie wymiarowymi abstrakcyjnymi przestrzeniami
matematycznymi. <br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6sfXv-UmxshcMWMuy6aIqcQ8wNByrV1lYC110j9TmMdS4-E-5_6ELRm58t9BOASd9TP3My1LC0PN1gSsBHop0XD2NhHEzZ8MheVhDmLkaIXTXfrbuJL2s9m1gdtp1tRK8xdYegkEJAaE/s1600/Table_of_Geometry%252C_Cyclopaedia%252C_Volume_1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1600" data-original-width="1460" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6sfXv-UmxshcMWMuy6aIqcQ8wNByrV1lYC110j9TmMdS4-E-5_6ELRm58t9BOASd9TP3My1LC0PN1gSsBHop0XD2NhHEzZ8MheVhDmLkaIXTXfrbuJL2s9m1gdtp1tRK8xdYegkEJAaE/s640/Table_of_Geometry%252C_Cyclopaedia%252C_Volume_1.jpg" width="583" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span class="mw-mmv-title">Tablice geometryczne z encyklopedii z 1728 roku</span></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<object class="BLOG_video_class" contentid="abed9a91172db4a6" height="266" id="BLOG_video-abed9a91172db4a6" width="320"></object></div>
<br />
<br />
<span style="color: black;">*Zadań jest 8 (<span style="color: lime;">3 na pierwszym poziomie</span>, <span style="color: orange;">3 na
drugim</span> oraz <span style="color: red;">2 naprawdę trudne</span>) i są uszeregowane poziomami trudności.</span><br />
<span style="color: black;">*Jeżeli </span><span style="color: lime;"> </span><span style="color: black;">ktoś nie będzie umiał zrobić zadania proszę śmiało pytać (w
komentarzach), na pewno w przeciągu paru dni pojawi się odpowiedź, a tych którzy
rozwiązali proszę również wrzucać odpowiedzi do komentarzy albo wysyłać na mail, chętnie wprowadzimy ewentualne poprawki. :-)</span><br />
<span style="color: black;">*Odpowiedzi na obydwa najtrudniejsze zadania są
zamieszczone na dole strony, ale najpierw spróbujcie sami je rozwiązać.</span><br />
<span style="color: black;">POWODZENIA </span><span style="color: black; font-family: "segoe ui symbol" , "sans-serif"; mso-bidi-font-family: "Segoe UI Symbol";">👍</span><span style="color: black;"> </span><br />
<br />
<span style="background-color: white;"><b><span style="color: black;"><span style="color: blue;">Poziom 1. </span></span></b></span><br />
<span style="color: lime;"><br /></span>
<span style="color: lime;">Zadanie 1.</span><br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;">Dany jest trójkąt prostokątny o polu <img alt=" √ -- 2 3 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1082355/HzadT0x.gif" /> i kącie ostrym <img alt=" ∘ 30 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1082355/HzadT1x.gif" />. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta. </span></span><br />
<br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;"><span style="color: lime;">Zadanie 2.</span></span></span><br />
<div class="noindent">
Liczby <img alt="4,10,c " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1334320/HzadT0x.gif" /> są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz <img alt="c " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1334320/HzadT1x.gif" />. </div>
<div class="noindent">
<br /></div>
<div class="noindent">
<span style="color: lime;">Zadanie 3.</span></div>
<div class="noindent">
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi bocznej dwa razy dłuższej od krawędzi podstawy. </div>
<ol class="enumerate1">
<li class="enumerate">Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. </li>
<li class="enumerate">Wyznacz długość krawędzi ostrosłupa, tak aby pole jego powierzchni bocznej wynosiło <img alt=" √ --- 36 1 5 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1152582/HzadT0x.gif" /> </li>
</ol>
<span style="color: blue;"><span style="color: lime;"><b><span style="color: blue;">Poziom 2.</span></b></span></span><br />
<br />
<span style="color: lime;"><span style="color: blue;"><span style="color: orange;">Zadanie 1.</span></span></span><br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;">Podstawą ostrosłupa jest romb, którego przekątne mają długości 12 i 16.
Spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych
rombu w podstawie, a pole powierzchni bocznej jest równe 104. Oblicz
objętość ostrosłupa. </span></span><br />
<br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;"><span style="color: orange;">Zadanie 2.</span></span></span><br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;">Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 60 cm, a tangens jednego z kątów ostrych jest równy <img alt="512- " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1021818/HzadT0x.gif" />. Oblicz pole tego trójkąta oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną. </span></span><br />
<br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;"><span style="color: orange;">Zadanie 3.</span></span></span><br />
<div class="noindent">
Po wydłużeniu każdej krawędzi sześcianu o 2, długość
jego przekątnej podwoiła się. Oblicz pole powierzchni całkowitej
powiększonego sześcianu. </div>
<br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;"><span style="color: orange;"> <b><span style="color: blue;">Poziom 3.</span></b></span></span></span><br />
<br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;"><span style="color: orange;"><b><span style="color: blue;"> </span></b><span style="color: blue;"><span style="color: red;">Zadanie 1.</span></span></span></span></span><br />
<div class="noindent">
Uzasadnij, że jeżeli <img alt="a,b,c,d " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1093339/HzadT0x.gif" /> są liczbami dodatnimi to </div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
<img alt=" √ ----- (a + b)(c + d) ≥ 4 abcd. " class="math-display" src="https://img.zadania.info/zad/1093339/HzadT1x.gif" /> </div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
<span style="color: red;"> Zadanie 2.</span></div>
<div class="math-display">
Dla jakich wartości parametru <img alt="k " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadT0x.gif" /> równanie <img alt=" 4 4 2k+-1 sin x + co s x = k−1 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadT1x.gif" /> ma rozwiązanie? </div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<iframe mozallowfullscreen="true" src="https://learningapps.org/watch?app=4760104" style="border: 0px; height: 500px; width: 100%;" webkitallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<br />
<br />
<iframe mozallowfullscreen="true" src="https://learningapps.org/watch?app=5125353" style="border: 0px; height: 500px; width: 100%;" webkitallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;"><span style="color: orange;"><b><span style="color: blue;"><span style="color: red;"><span style="color: magenta;">Rozwiązanie 1.</span></span></span></b></span></span></span><br />
<div class="noindent">
Wymnażając nawiasy z lewej strony nierówności mamy </div>
<div class="math-display">
<img alt=" √ ----- ac+ ad+ bc+ bd ≥ 4 abcd . " class="math-display" src="https://img.zadania.info/zad/1093339/HzadR12x.gif" /></div>
<div class="nopar">
Podnosimy teraz nierówność stronami do kwadratu. </div>
<div class="math-display">
<img alt=" 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c + a d + b c + b d + 2a cd+ 2abc + 2abcd + 2abcd + 2abd + 2b cd ≥ 16abcd (a2c2 − 2abcd + b2d2) + (a2d2 − 2abcd + b2c2)+ 2 2 2 2 + 2a cd+ 2abc − 8abcd + 2abd + 2b cd ≥ 0 (ac− bd)2 + (ad− bc)2 + 2cd(a2 − 2ab + b2)+ 2ab(c2 − 2cd + d2) ≥ 0 (ac− bd)2 + (ad− bc)2 + 2cd(a − b)2 + 2ab(c− d)2 ≥ 0. " class="math-display" src="https://img.zadania.info/zad/1093339/HzadR13x.gif" /></div>
<div class="nopar">
Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy w
sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa. </div>
<div class="nopar">
<br /></div>
<div class="nopar">
<br /></div>
<div class="nopar">
<span style="color: magenta;"><b>Rozwiązanie 2.</b></span></div>
<div class="nopar">
<span style="color: magenta;"><b> </b></span>Ze względu na ułamek z prawej strony równości musimy założyć, że <img alt="k ⁄= 1 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR0x.gif" />. </div>
<div class="nopar">
<br /></div>
<div class="noindent">
Przekształćmy lewą stronę równania </div>
<div class="math-display">
<img alt=" 4 4 2 2 2 2 2 sin x + cos x = (sin x + co s x) − 2sin xco s x = = 1 − 2 sin 2x(1 − sin2 x) = 2 sin 4x − 2sin2 x+ 1 = 2t2 − 2t+ 1, " class="math-display" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR5x.gif" /></div>
<div class="nopar">
gdzie podstawiliśmy <img alt="t = sin 2x " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR6x.gif" />. Spróbujmy ustalić jakie wartości przyjmuje parabola <img alt="f(t) = 2t2 − 2t+ 1 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR7x.gif" /> na przedziale <img alt="⟨0 ,1⟩ " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR8x.gif" /> (tak zmienia się <img alt="t = sin 2x " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR9x.gif" />). Ponieważ jej wierzchołek znajduje się w punkcie </div>
<div class="math-display">
<img alt=" ( ) 1-1- (xw ,yw ) = 2,2 " class="math-display" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR10x.gif" /></div>
<div class="nopar">
oraz <img alt="f(0) = 1 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR11x.gif" /> i <img alt="f(1) = 1 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR12x.gif" />, możliwe wartości <img alt="f (t) " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR13x.gif" /> to przedział <img alt="⟨ ⟩ 1 2,1 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR14x.gif" />. Podane równanie będzie więc miało rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy prawa strona równania będzie zawarta w tym przedziale. </div>
<div class="math-display">
<img alt=" 1- 2k-+-1- 2k+--1- 2 ≤ k − 1 ∧ k − 1 ≤ 1 3k + 3 k+ 2 0 ≤ ------- ∧ -----≤ 0 2k − 2 k− 1 k ∈ (− ∞ ,− 1⟩ ∪ (1,+ ∞ ) ∧ k ∈ ⟨− 2,1) k ∈ ⟨− 2 ,− 1 ⟩. " class="math-display" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR15x.gif" /></div>
<div class="nopar">
<br /></div>
<div class="nopar">
<br /></div>
<div class="nopar">
<br /></div>
<span style="color: lime;"><span style="color: black;"><span style="color: orange;"><b><span style="color: blue;"><span style="color: red;"><span style="color: magenta;"> </span> </span></span></b></span> </span></span>
<br />
<blockquote class="tr_bq">
,,Geometria ma dwa wielkie skarby: jednym z nich jest twierdzenie
Pitagorasa, a drugim podział odcinka w złoty sposób; pierwszy z nich
możemy porównać do złota, a drugi do drogocennego klejnotu." Johannes Kepler<span style="background-color: white;"></span></blockquote>
<br />
<br />
<iframe allowfullscreen="true" frameborder="0" height="389" mozallowfullscreen="true" src="https://docs.google.com/presentation/d/e/2PACX-1vSk5g6H6J-50Ysrj5OMTxXB2cycDeIuKuwrI31OOfatqaAXFMHRbyxPGNm8n2LilH0qnU9PIJNWOf5k/embed?start=true&loop=true&delayms=3000" webkitallowfullscreen="true" width="480"></iframe>
<br />
Geometria, podobnie jak arytmetyka należy do najstarszych nauk. Podobnie jak inne działy matematyki
geometria wyewoluowała od badania kształtów znanych z codziennego życia
do studiów nad nieskończenie wymiarowymi abstrakcyjnymi przestrzeniami
matematycznymi. <br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6sfXv-UmxshcMWMuy6aIqcQ8wNByrV1lYC110j9TmMdS4-E-5_6ELRm58t9BOASd9TP3My1LC0PN1gSsBHop0XD2NhHEzZ8MheVhDmLkaIXTXfrbuJL2s9m1gdtp1tRK8xdYegkEJAaE/s1600/Table_of_Geometry%252C_Cyclopaedia%252C_Volume_1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1600" data-original-width="1460" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6sfXv-UmxshcMWMuy6aIqcQ8wNByrV1lYC110j9TmMdS4-E-5_6ELRm58t9BOASd9TP3My1LC0PN1gSsBHop0XD2NhHEzZ8MheVhDmLkaIXTXfrbuJL2s9m1gdtp1tRK8xdYegkEJAaE/s640/Table_of_Geometry%252C_Cyclopaedia%252C_Volume_1.jpg" width="583" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span class="mw-mmv-title">Tablice geometryczne z encyklopedii z 1728 roku</span></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<object class="BLOG_video_class" contentid="abed9a91172db4a6" height="266" id="BLOG_video-abed9a91172db4a6" width="320"></object></div>
<br />
<br />
<span style="color: black;">*Zadań jest 8 (<span style="color: lime;">3 na pierwszym poziomie</span>, <span style="color: orange;">3 na
drugim</span> oraz <span style="color: red;">2 naprawdę trudne</span>) i są uszeregowane poziomami trudności.</span><br />
<span style="color: black;">*Jeżeli </span><span style="color: lime;"> </span><span style="color: black;">ktoś nie będzie umiał zrobić zadania proszę śmiało pytać (w
komentarzach), na pewno w przeciągu paru dni pojawi się odpowiedź, a tych którzy
rozwiązali proszę również wrzucać odpowiedzi do komentarzy albo wysyłać na mail, chętnie wprowadzimy ewentualne poprawki. :-)</span><br />
<span style="color: black;">*Odpowiedzi na obydwa najtrudniejsze zadania są
zamieszczone na dole strony, ale najpierw spróbujcie sami je rozwiązać.</span><br />
<span style="color: black;">POWODZENIA </span><span style="color: black; font-family: "segoe ui symbol" , "sans-serif"; mso-bidi-font-family: "Segoe UI Symbol";">👍</span><span style="color: black;"> </span><br />
<br />
<span style="background-color: white;"><b><span style="color: black;"><span style="color: blue;">Poziom 1. </span></span></b></span><br />
<span style="color: lime;"><br /></span>
<span style="color: lime;">Zadanie 1.</span><br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;">Dany jest trójkąt prostokątny o polu <img alt=" √ -- 2 3 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1082355/HzadT0x.gif" /> i kącie ostrym <img alt=" ∘ 30 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1082355/HzadT1x.gif" />. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta. </span></span><br />
<br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;"><span style="color: lime;">Zadanie 2.</span></span></span><br />
<div class="noindent">
Liczby <img alt="4,10,c " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1334320/HzadT0x.gif" /> są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz <img alt="c " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1334320/HzadT1x.gif" />. </div>
<div class="noindent">
<br /></div>
<div class="noindent">
<span style="color: lime;">Zadanie 3.</span></div>
<div class="noindent">
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi bocznej dwa razy dłuższej od krawędzi podstawy. </div>
<ol class="enumerate1">
<li class="enumerate">Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. </li>
<li class="enumerate">Wyznacz długość krawędzi ostrosłupa, tak aby pole jego powierzchni bocznej wynosiło <img alt=" √ --- 36 1 5 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1152582/HzadT0x.gif" /> </li>
</ol>
<span style="color: blue;"><span style="color: lime;"><b><span style="color: blue;">Poziom 2.</span></b></span></span><br />
<br />
<span style="color: lime;"><span style="color: blue;"><span style="color: orange;">Zadanie 1.</span></span></span><br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;">Podstawą ostrosłupa jest romb, którego przekątne mają długości 12 i 16.
Spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych
rombu w podstawie, a pole powierzchni bocznej jest równe 104. Oblicz
objętość ostrosłupa. </span></span><br />
<br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;"><span style="color: orange;">Zadanie 2.</span></span></span><br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;">Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 60 cm, a tangens jednego z kątów ostrych jest równy <img alt="512- " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1021818/HzadT0x.gif" />. Oblicz pole tego trójkąta oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną. </span></span><br />
<br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;"><span style="color: orange;">Zadanie 3.</span></span></span><br />
<div class="noindent">
Po wydłużeniu każdej krawędzi sześcianu o 2, długość
jego przekątnej podwoiła się. Oblicz pole powierzchni całkowitej
powiększonego sześcianu. </div>
<br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;"><span style="color: orange;"> <b><span style="color: blue;">Poziom 3.</span></b></span></span></span><br />
<br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;"><span style="color: orange;"><b><span style="color: blue;"> </span></b><span style="color: blue;"><span style="color: red;">Zadanie 1.</span></span></span></span></span><br />
<div class="noindent">
Uzasadnij, że jeżeli <img alt="a,b,c,d " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1093339/HzadT0x.gif" /> są liczbami dodatnimi to </div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
<img alt=" √ ----- (a + b)(c + d) ≥ 4 abcd. " class="math-display" src="https://img.zadania.info/zad/1093339/HzadT1x.gif" /> </div>
<div class="math-display">
</div>
<div class="math-display">
<span style="color: red;"> Zadanie 2.</span></div>
<div class="math-display">
Dla jakich wartości parametru <img alt="k " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadT0x.gif" /> równanie <img alt=" 4 4 2k+-1 sin x + co s x = k−1 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadT1x.gif" /> ma rozwiązanie? </div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<iframe mozallowfullscreen="true" src="https://learningapps.org/watch?app=4760104" style="border: 0px; height: 500px; width: 100%;" webkitallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<br />
<br />
<iframe mozallowfullscreen="true" src="https://learningapps.org/watch?app=5125353" style="border: 0px; height: 500px; width: 100%;" webkitallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: lime;"><span style="color: black;"><span style="color: orange;"><b><span style="color: blue;"><span style="color: red;"><span style="color: magenta;">Rozwiązanie 1.</span></span></span></b></span></span></span><br />
<div class="noindent">
Wymnażając nawiasy z lewej strony nierówności mamy </div>
<div class="math-display">
<img alt=" √ ----- ac+ ad+ bc+ bd ≥ 4 abcd . " class="math-display" src="https://img.zadania.info/zad/1093339/HzadR12x.gif" /></div>
<div class="nopar">
Podnosimy teraz nierówność stronami do kwadratu. </div>
<div class="math-display">
<img alt=" 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c + a d + b c + b d + 2a cd+ 2abc + 2abcd + 2abcd + 2abd + 2b cd ≥ 16abcd (a2c2 − 2abcd + b2d2) + (a2d2 − 2abcd + b2c2)+ 2 2 2 2 + 2a cd+ 2abc − 8abcd + 2abd + 2b cd ≥ 0 (ac− bd)2 + (ad− bc)2 + 2cd(a2 − 2ab + b2)+ 2ab(c2 − 2cd + d2) ≥ 0 (ac− bd)2 + (ad− bc)2 + 2cd(a − b)2 + 2ab(c− d)2 ≥ 0. " class="math-display" src="https://img.zadania.info/zad/1093339/HzadR13x.gif" /></div>
<div class="nopar">
Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy w
sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa. </div>
<div class="nopar">
<br /></div>
<div class="nopar">
<br /></div>
<div class="nopar">
<span style="color: magenta;"><b>Rozwiązanie 2.</b></span></div>
<div class="nopar">
<span style="color: magenta;"><b> </b></span>Ze względu na ułamek z prawej strony równości musimy założyć, że <img alt="k ⁄= 1 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR0x.gif" />. </div>
<div class="nopar">
<br /></div>
<div class="noindent">
Przekształćmy lewą stronę równania </div>
<div class="math-display">
<img alt=" 4 4 2 2 2 2 2 sin x + cos x = (sin x + co s x) − 2sin xco s x = = 1 − 2 sin 2x(1 − sin2 x) = 2 sin 4x − 2sin2 x+ 1 = 2t2 − 2t+ 1, " class="math-display" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR5x.gif" /></div>
<div class="nopar">
gdzie podstawiliśmy <img alt="t = sin 2x " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR6x.gif" />. Spróbujmy ustalić jakie wartości przyjmuje parabola <img alt="f(t) = 2t2 − 2t+ 1 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR7x.gif" /> na przedziale <img alt="⟨0 ,1⟩ " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR8x.gif" /> (tak zmienia się <img alt="t = sin 2x " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR9x.gif" />). Ponieważ jej wierzchołek znajduje się w punkcie </div>
<div class="math-display">
<img alt=" ( ) 1-1- (xw ,yw ) = 2,2 " class="math-display" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR10x.gif" /></div>
<div class="nopar">
oraz <img alt="f(0) = 1 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR11x.gif" /> i <img alt="f(1) = 1 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR12x.gif" />, możliwe wartości <img alt="f (t) " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR13x.gif" /> to przedział <img alt="⟨ ⟩ 1 2,1 " class="math" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR14x.gif" />. Podane równanie będzie więc miało rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy prawa strona równania będzie zawarta w tym przedziale. </div>
<div class="math-display">
<img alt=" 1- 2k-+-1- 2k+--1- 2 ≤ k − 1 ∧ k − 1 ≤ 1 3k + 3 k+ 2 0 ≤ ------- ∧ -----≤ 0 2k − 2 k− 1 k ∈ (− ∞ ,− 1⟩ ∪ (1,+ ∞ ) ∧ k ∈ ⟨− 2,1) k ∈ ⟨− 2 ,− 1 ⟩. " class="math-display" src="https://img.zadania.info/zad/1147538/HzadR15x.gif" /></div>
<div class="nopar">
<br /></div>
<div class="nopar">
<br /></div>
<div class="nopar">
<br /></div>
<span style="color: lime;"><span style="color: black;"><span style="color: orange;"><b><span style="color: blue;"><span style="color: red;"><span style="color: magenta;"> </span> </span></span></b></span> </span></span>
Comments
Post a Comment